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第一部分 复变函数 3

第1章 复数 3

1.1复数 3

1.2平面点集的概念 9

第2章 复变函数 12

2.1复变函数、极限和连续性 12

2.2导数和解析函数的概念 14

2.3初等解析函数 19

第3章 解析函数的积分 23

3.1复变函数的积分 23

3.2柯西积分定理 25

3.3柯西积分公式 28

第4章 级数 32

4.1复数项级数 32

4.2复函数项级数 34

4.3幂级数 36

4.4泰勒级数 40

4.5洛朗级数 44

4.6孤立奇异点 46

第5章 留数及其应用 49

5.1留数定理 49

5.2留数定理的应用 51

附录一 柯西主值积分 59

附录二 伯努利数与ζ函数 62

第二部分 数学物理方程 73

第6章 数学物理方程的导出 73

6.1泛定方程的建立 73

6.2定解条件 80

6.3适定性问题 83

第7章 行波法与分离变量法 86

7.1行波法 86

7.2分离变量法：齐次方程情形 89

7.3斯图姆-刘维尔问题 98

7.4 δ函数 105

7.5分离变量法：非齐次方程情形 114

7.6拉普拉斯方程的分离变量 124

第8章 傅里叶变换 129

8.1傅里叶级数 129

8.2傅里叶积分 133

8.3傅里叶变换 134

8.4傅里叶余弦变换与正弦变换 142

第9章 贝塞尔方程与勒让德方程 147

9.1贝塞尔方程的导出 147

9.2贝塞尔函数 148

9.3贝塞尔函数的微分关系 152

9.4贝塞尔方程和S-L问题 153

9.5勒让德方程的导出 154

9.6勒让德多项式 155

9.7勒让德多项式的性质 158

9.8伴随勒让德方程 163

9.9球面函数与角动量 168

附录 伴随勒让德多项式模方的计算 169

第10章 格林函数及其应用 172

10.1与时间无关的格林函数 172

10.2镜像法 178

10.3格林函数的算符表示式 183

10.4含时格林函数 188

10.5量子物理中的格林函数 198

附录一 一个积分主值的计算 200

附录二 薛定谔方程的格林函数 202

附录 微分形式 204

A1拓扑、流形、微分流形 204

A2切矢量、切空间、矢量场 205

A3微分形式 207

A4楔积、p形式 210

A5外微分 211

A6正交曲线坐标系中的拉普拉斯算子 213

参考文献 217

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