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第1章 科学计算引论 1

1.1科学计算背景 1

1.1.1科学计算与计算数学 1

1.1.2计算数学与现代科学计算 1

1.1.3计算方法与计算机技术 2

1.2科学计算的误差 3

1.2.1科学计算误差的产生 3

1.2.2误差的基本概念 3

1.2.3有效数字 4

1.3科学计算中的算法优化和误差估计 6

1.3.1数值运算时误差的传播 6

1.3.2算法中应避免的问题 7

1.3.3算法设计中的基本思想 8

1.3.4数值计算的收敛性与稳定性 12

习题1 13

数值实验题 13

第2章 函数插值 14

2.1引言 14

2.1.1插值问题 14

2.1.2插值多项式的存在性和唯一性 14

2.2拉格朗日插值 15

2.2.1线性插值与抛物线插值 15

2.2.2拉格朗日插值多项式 16

2.2.3插值余项与误差估计 17

2.3牛顿插值 21

2.3.1插值多项式的逐次生成 21

2.3.2均差及其性质 22

2.3.3牛顿插值公式 23

2.3.4牛顿向前插值公式 25

2.4埃尔米特插值 28

2.4.1重节点均差与泰勒插值 28

2.4.2典型的埃尔米特插值 28

2.4.3一般形式与插值余项 31

2.5分段多项式插值 32

2.5.1高次多项式插值的龙格现象 32

2.5.2分段线性插值 33

2.5.3分段三次埃尔米特插值 34

2.6三次样条插值 35

2.6.1基本概念 35

2.6.2三次样条函数 35

2.6.3样条插值函数的建立 36

2.6.4误差界与收敛性 40

习题2 40

数值实验题 41

第3章 函数逼近 42

3.1引言 42

3.1.1函数逼近问题 42

3.1.2范数与赋范线性空间 43

3.1.3内积与内积空间 44

3.2正交多项式 46

3.2.1正交函数族与正交多项式 46

3.2.2勒让德多项式 49

3.2.3切比雪夫多项式 50

3.2.4其他常用的正交多项式 51

3.3最佳平方逼近 52

3.3.1最佳平方逼近及其计算 52

3.3.2用正交函数族作最佳平方逼近 54

3.4最佳一致逼近 56

3.4.1基本概念及其理论 56

3.4.2用插值余项最小化作最佳一致逼近 59

3.5最小二乘拟合 62

3.5.1最小二乘法及其计算 62

3.5.2用正交多项式作最小二乘拟合 66

3.6有理逼近 67

3.6.1有理函数逼近与插值 67

3.6.2帕德逼近 69

习题3 72

数值实验题 74

第4章 数值积分与数值微分 75

4.1数值积分概论 75

4.1.1数值积分的基本思想 75

4.1.2代数精度的概念 76

4.1.3插值型的求积公式 77

4.1.4求积公式的收敛性与稳定性 79

4.1.5求积公式的余项 79

4.2牛顿-科茨公式 82

4.2.1科茨系数 82

4.2.2偶阶求积公式的代数精度及其余项 84

4.3复合求积公式 85

4.3.1复合梯形公式 86

4.3.2复合辛普森求积公式 86

4.4龙贝格求积公式 89

4.4.1梯形公式的递推化 89

4.4.2龙贝格算法 89

4.4.3理查森外推加速法 90

4.5高斯型求积公式 92

4.5.1一般理论 92

4.5.2高斯-勒让德求积公式 96

4.5.3高斯-切比雪夫求积公式 98

4.6数值微分 98

4.6.1中点方法与误差分析 98

4.6.2插值型的求导公式 100

习题4 101

数值实验题 102

第5章 线性方程组的直接解法 103

5.1高斯消去法 103

5.1.1回代过程与消元过程 103

5.1.2高斯消去法的矩阵描述 107

5.1.3选主元的高斯消去法 108

5.2矩阵的三角分解 111

5.2.1直接三角分解法 111

5.2.2平方根法 112

5.2.3追赶法 115

5.3向量和矩阵范数 117

5.3.1向量的极限定义 118

5.3.2矩阵范数 119

5.4误差分析 122

5.4.1条件数与误差分析 122

5.4.2病态检测与改善 125

习题5 127

数值实验题 128

第6章 解线性代数方程组的迭代法 130

6.1迭代法的基本思想 130

6.2雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法 131

6.2.1雅可比迭代法 131

6.2.2高斯-赛德尔迭代法 133

6.3迭代法及其收敛性 135

6.3.1矩阵序列的极限 135

6.3.2迭代法的收敛性 136

6.3.3特殊方程组迭代法的收敛性 139

6.3.4误差估计 141

6.3.5迭代法的收敛速度 143

6.4逐次超松弛迭代法 144

6.4.1超松弛迭代法的基本思想 144

6.4.2超松弛迭代法的矩阵形式 144

6.4.3超松弛法的收敛性 145

习题6 148

数值实验题 149

第7章 非线性方程求根 150

7.1方程求根问题 150

7.1.1方程求根简介 150

7.1.2二分法 150

7.2线性插值方法 154

7.2.1割线法 154

7.2.2牛顿法 155

7.3不动点迭代法 157

7.3.1不动点与不动点迭代法 157

7.3.2不动点的存在性与迭代法的收敛性 160

7.4迭代法的误差分析及牛顿法收敛性再讨论 162

7.4.1迭代法的误差分析 162

7.4.2牛顿法收敛性再讨论 166

7.5迭代法收敛的加速方法 170

7.5.1艾特肯加速收敛方法 170

7.5.2斯特芬森迭代法 172

7.6多项式零点与抛物线法 174

7.6.1秦九韶算法 174

7.6.2多项式全部根求解问题 177

7.6.3抛物线法 178

7.7非线性方程组的解法 182

7.7.1非线性方程组 182

7.7.2非线性方程组的牛顿迭代法 183

7.7.3多变量方程的不动点迭代法 185

习题7 187

数值实验题 188

第8章 矩阵特征值与特征向量 190

8.1基本概念与特征值分布 190

8.2乘幂法与反幂法 196

8.2.1乘幂法 196

8.2.2乘幂法的加速技术 200

8.2.3反幂法 203

8.3矩阵的正交三角化 205

8.3.1豪斯霍尔德变换 206

8.3.2吉文斯变换 208

8.4 QR分解与QR算法 210

8.4.1 QR分解 211

8.4.2 QR算法 213

习题8 215

数值实验题 216

第9章 常微分方程初值问题的数值解法 218

9.1引言 218

9.1.1常微分方程初值问题 218

9.1.2什么是常微分方程数值解法 219

9.2欧拉法与梯形方法 220

9.2.1欧拉法 220

9.2.2梯形方法 222

9.2.3梯形公式的预估-校正方法 223

9.2.4单步法的局部截断误差及其阶 224

9.3龙格-库塔方法 226

9.3.1显式龙格-库塔方法的一般形式 226

9.3.2二级二阶显式龙格-库塔方法 227

9.3.3三级三阶与四级四阶显式龙格-库塔方法 228

9.4初值问题单步法的相容性、收敛性与稳定性 230

9.4.1相容性 230

9.4.2收敛性 231

9.4.3稳定性 232

9.5线性多步法 233

9.5.1亚当斯方法 234

9.5.2汉明方法 237

9.5.3预估-校正方法 239

9.6线性多步法的相容性、收敛性与稳定性 240

9.6.1相容性 240

9.6.2收敛性 241

9.6.3稳定性 241

习题9 241

数值实验题 243

第10章 傅里叶变换与小波变换 244

10.1傅里叶级数 244

10.2傅里叶变换 245

10.2.1连续函数的傅里叶变换 245

10.2.2 δ-函数的定义及其性质 246

10.2.3离散函数的傅里叶变换 248

10.3傅里叶变换的性质 250

10.3.1傅里叶变换的基本性质 250

10.3.2离散快速傅里叶变换 253

10.4尺度空间与小波空间 254

10.4.1L2（R）空间及其特性 254

10.4.2尺度函数与小波函数、尺度空间与小波空间 255

10.5小波变换及其应用 258

10.5.1小波变换 258

10.5.2快速小波变换 259

习题10 264

数值实验题 265

第11章 偏微分方程数值解初步 267

11.1偏微分方程的基本概念与分类 267

11.1.1偏微分方程的基本概念 267

11.1.2线性偏微分方程的分类 269

11.1.3一些典型的偏微分方程 269

11.2偏微分方程的定解问题 271

11.2.1椭圆型偏微分方程的定解问题 271

11.2.2抛物型偏微分方程的定解问题 272

11.2.3双曲型偏微分方程的定解问题 272

11.3偏微分方程有限差分方法 273

11.3.1有限差分方法网格剖分 274

11.3.2有限差分格式 274

11.3.3隐式差分格式 276

11.3.4有限差分格式的相容性、收敛性和稳定性 276

11.4抛物型偏微分方程有限差分方法 278

11.4.1向前差分格式、向后差分格式 278

11.4.2数值算例 279

11.5椭圆型偏微分方程有限差分方法 281

11.5.1泊松方程的五点差分格式 281

11.5.2差分格式的性质 282

11.5.3数值算例 282

11.6双曲型偏微分方程有限差分方法 286

11.6.1迎风格式 286

11.6.2拉克斯-弗里德里希斯格式 287

11.6.3拉克斯-温德罗夫格式 287

11.6.4双曲型方程差分格式收敛的必要条件 287

11.6.5数值算例 288

习题11 288

数值实验题 290

参考文献 291

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