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第7章 常微分方程 1

7.1 常微分方程的基本概念 1

习题7.1 4

7.2 一阶微分方程 6

7.2.1 可分离变量的微分方程 6

7.2.2 齐次微分方程 10

7.2.3 一阶线性微分方程 13

7.2.4 伯努利方程 15

习题7.2 16

7.3 可降阶的高阶微分方程 18

7.3.1 y（n）＝f（x）型的微分方程 18

7.3.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程 19

7.3.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程 20

习题7.3 23

7.4 高阶线性微分方程 24

7.4.1 函数的线性相关与线性无关 24

7.4.2 线性微分方程解的结构 25

7.4.3 线性微分方程解的存在唯一性 27

习题7.4 27

7.5 常系数齐次线性微分方程 29

7.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程 29

7.5.2 n阶常系数齐次线性微分方程 33

习题7.5 34

7.6 常系数非齐次线性微分方程 35

7.6.1 二阶常系数非齐次线性微分方程 35

7.6.2 欧拉方程 43

习题7.6 44

综合习题7 44

第8章 无穷级数 46

8.1 常数项级数的概念和性质 46

8.1.1 常数项级数的概念 46

8.1.2 收敛级数的基本性质 49

习题8.1 51

8.2 常数项级数的审敛法 52

8.2.1 级数收敛的必要条件 52

8.2.2 正项级数及其审敛法 53

8.2.3 交错级数 59

8.2.4 绝对收敛与条件收敛 61

习题8.2 64

8.3 幂级数 66

8.3.1 函数项级数的概念 66

8.3.2 幂级数及其收敛性 67

8.3.3 幂级数的性质及幂级数的和函数 72

习题8.3 76

8.4 泰勒级数 78

8.4.1 泰勒级数的概念 78

8.4.2 函数展开为幂级数 79

8.4.3 幂级数的应用 85

习题8.4 87

8.5 傅里叶级数 88

8.5.1 三角函数系 88

8.5.2 周期为2π的函数的傅里叶级数 90

8.5.3 函数在［-π，π］上的傅里叶级数 93

8.5.4 函数在［0，π］上的正弦级数或余弦级数 95

8.5.5 周期为2l的函数的傅里叶级数 98

8.5.6 傅里叶级数的复数形式 99

习题8.5 100

综合习题8 101

第9章 空间解析几何与向量代数 104

9.1 空间向量及其运算 104

习题9.1 109

9.2 空间平面和直线方程 110

9.2.1 空间平面方程 110

9.2.2 空间直线方程 114

习题9.2 116

9.3 空间曲面和曲线 117

习题9.3 124

第10章 多元函数微分学及其应用 126

10.1 多元函数的极限与连续 126

10.1.1 n维空间 126

10.1.2 多元函数的极限 128

10.1.3 多元函数的连续性 130

习题10.1 130

10.2 偏导数 132

10.2.1 偏导数的概念及其计算 132

10.2.2 偏导数的几何意义 134

10.2.3 高阶偏导数 136

习题10.2 138

10.3 全微分及其应用 140

习题10.3 144

10.4 多元复合函数的求导法则 145

习题10.4 149

10.5 隐函数及其求导法 152

习题10.5 157

10.6 多元微分在几何上的应用 159

10.6.1 空间曲线的切线与法平面 159

10.6.2 空间曲面的切平面与法线 160

习题10.6 163

10.7 多元函数的极值 165

10.7.1 无条件极值 165

10.7.2 条件极值 拉格朗日乘数法 170

习题10.7 174

10.8 方向导数与梯度 175

10.8.1 方向导数 175

10.8.2 梯度 178

习题10.8 181

综合习题10 182

第11章 重积分 184

11.1 二重积分的概念与性质 184

11.1.1 二重积分的概念 184

11.1.2 二重积分的性质 186

习题11.1 188

11.2 二重积分的计算 189

11.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 189

11.2.2 极坐标系下二重积分的计算 194

11.2.3 对称性与二重积分 197

11.2.4 二重积分的变量替换 200

习题11.2 204

11.3 三重积分 207

11.3.1 三重积分的概念 207

11.3.2 空间直角坐标系下三重积分的计算 208

11.3.3 利用球坐标系计算三重积分 213

习题11.3 215

11.4 重积分的应用 218

11.4.1 几何应用 218

11.4.2 物理应用 221

习题11.4 228

综合习题11 229

第12章 曲线积分与曲面积分 231

12.1 第一型曲线积分 231

12.1.1 第一型曲线积分的概念和性质 231

12.1.2 第一型曲线积分的计算 233

习题12.1 238

12.2 第二型曲线积分 240

12.2.1 第二型曲线积分的概念与性质 240

12.2.2 第二型曲线积分的计算 243

12.2.3 两类曲线积分的关系 247

习题12.2 248

12.3 格林公式及其应用 250

12.3.1 格林公式 250

12.3.2 平面上的曲线积分与路径无关的条件 256

12.3.3 全微分方程 259

习题12.3 262

12.4 第一型曲面积分 264

12.4.1 第一型曲面积分的概念与性质 264

12.4.2 第一型曲面积分的计算 265

习题12.4 269

12.5 第二型曲面积分 270

12.5.1 双侧曲面及其法向量 270

12.5.2 第二型曲面积分的概念 271

习题12.5 278

12.6 高斯公式 通量与散度 279

12.6.1 高斯公式 279

12.6.2 通量与散度 283

习题12.6 285

12.7 斯托克斯公式 环流量与旋度 287

12.7.1 斯托克斯公式 287

12.7.2 环流量与旋度 290

习题12.7 291

综合习题12 292

附录 研究与参考 295

1．关于常微分方程的注记 295

2．关于多元函数极值的充分条件 298

参考文献 303

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