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第6章 常用曲面 1

6.1 空间曲面与曲线的方程 1

6.1.1 曲面的一般方程 1

6.1.2 球面的方程 1

6.1.3 曲面的参数方程 4

6.1.4 空间曲线的方程 5

习题6.1 8

6.2 柱面、锥面与旋转面 9

6.2.1 柱面的方程 9

6.2.2 锥面的方程 12

6.2.3 旋转面的方程 14

习题6.2 16

6.3 二次曲面 18

习题6.3 24

6.4 直纹曲面 25

6.4.1 双曲抛物面上的直母线 25

6.4.2 单叶双曲面上的直母线 28

习题6.4 31

第7章 二次型与矩阵的合同 33

7.1 平面二次曲线方程的化简 33

7.1.1 直角坐标轴的平移 33

7.1.2 直角坐标系的旋转 35

7.1.3 二次曲线的分类 41

习题7.1 42

7.2 正交矩阵与n维向量空间Rn中的施密特正交化 43

7.2.1 二阶正交矩阵的概念 43

7.2.2 n维向量空间？n中的正交向量组 43

7.2.3 n阶正交矩阵 46

7.2.4 施密特正交化 47

习题7.2 52

7.3 二次型与主轴定理 53

7.3.1 二次曲面方程的化简 53

7.3.2 n元二次型及其标准形 55

7.3.3 主轴定理 57

7.3.4 用主轴定理化简二次曲线方程 64

习题7.3 65

7.4 二次型的其他标准形与矩阵的合同 67

7.4.1 非退化线性替换（配方法） 67

7.4.2 矩阵的合同 73

7.4.3 复二次型的典范形 76

习题7.4 78

7.5 实二次型的惯性定理 79

习题7.5 84

7.6 正定二次型与正定矩阵 84

7.6.1 正定二次型的概念 85

7.6.2 正定矩阵的性质 87

7.6.3 其他类型的实二次型 93

习题7.6 95

第8章 线性空间 98

8.1 线性空间的定义和基本性质 98

8.1.1 为什么要引入线性空间 98

8.1.2 线性空间的定义和例子 99

8.1.3 线性空间定义的一些简单推论 102

习题8.1 103

8.2 线性空间的基与维数 104

8.2.1 线性相关与线性无关 104

8.2.2 基与维数 107

8.2.3 线性空间中向量的坐标 109

习题8.2 111

8.3 过渡矩阵与坐标变换 112

8.3.1 向量组线性表出的形式矩阵写法 112

8.3.2 线性空间两个基之间的过渡矩阵 115

8.3.3 向量的坐标变换 118

习题8.3 120

8.4 子空间 121

8.4.1 子空间的定义及例子 121

8.4.2 子空间的基与维数 123

8.4.3 生成子空间 124

习题8.4 127

8.5 子空间的交与和 128

8.5.1 子空间交与和的概念与性质 128

8.5.2 子空间交与和的维数公式 130

习题8.5 134

8.6 子空间的直和 136

8.6.1 两个子空间的直和 136

8.6.2 子空间的直和补 138

8.6.3 多个子空间的直和 140

习题8.6 143

第9章 线性变换 145

9.1 线性变换的概念 145

9.1.1 初等几何中的仿射变换 145

9.1.2 线性变换的定义及例子 147

9.1.3 线性变换的一些简单性质 150

9.1.4 线性变换的加法及数乘 151

9.1.5 线性变换的乘法及多项式 153

习题91 156

9.2 线性变换的矩阵 158

9.2.1 线性变换在一组基下的矩阵 158

9.2.2 线性变换在两个基下的矩阵之间的关系 162

9.2.3 线性变换与矩阵的对应 166

习题9.2 168

9.3 线性变换的核与值域 170

9.3.1 线性变换的核 170

9.3.2 线性变换的值域 171

9.3.3 线性变换核与值域的维数公式 175

习题9.3 176

9.4 线性变换的不变子空间 178

习题9.4 182

9.5 线性变换的对角化 183

9.5.1 线性变换的特征值和特征向量 183

9.5.2 线性变换的对角化 186

9.5.3 线性变换的特征子空间 187

9.5.4 特征值的代数重数与几何重数 191

习题9.5 193

9.6 从线性变换角度看若尔当标准形 194

9.6.1 线性变换的根子空间 195

9.6.2 根子空间是特征子空间的推广 203

9.6.3 若尔当标准形的几何解释 205

习题9.6 209

第10章 欧氏空间 211

10.1 欧氏空间的定义与基本性质 211

10.1.1 内积的定义及欧氏空间的例子 211

10.1.2 向量的长度和夹角 215

习题10.1 217

10.2 标准正交基 219

10.2.1 标准正交组的概念 220

10.2.2 施密特正交化方法 221

10.2.3 标准正交基的作用 223

习题10.2 224

10.3 正交补与正交投影 226

10.3.1 子空间的正交补 226

10.3.2 向量在子空间上的正交投影 227

10.3.3 正交投影的性质 229

10.3.4 最小二乘法 231

习题10.3 235

10.4 正交变换 236

习题10.4 239

10.5 对称变换 240

习题10.5 243

部分习题答案 245

参考文献 250

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