数学分析 第1册

本书这次修订有以下几个创见：第一，首次定义了赋范极限，它与一元函数极限有相同的性质，它又将各种函数极限的定义，定积分、重积分、曲线积分与曲面积分的定义，曲线弧长与曲面面积的定义，统一为一个定义，这使得学生更容易掌握定积分等较复杂的概念。第二，重新叙述了极限的直观定义，给出了从极限直观定义到极限的数学定义间的直接转化过程，使得学生更容易接受、理解和运用极限的定义。第三，强调了无穷小量理论在极限理论中的核心地位，特别是给出了Cauchy准则与一致连续的简洁的、便于理解或运用的无穷小量等价定义。第四，首次提出了微分多中值定理与局部单射定理，使得多元微分学有了基本完整的定理体系，使得学生更容易掌握多元微积分中几个重大定理的证明。第五，首次用函数语言给出了曲线、曲面、高维曲面的准确而严格的定义。第六，给出了曲面面积的严格定义，结束了长期以来曲面面积无严格的数学定义的现状。第七，用张量给出了多元泰勒公式简明易懂的表达式，由于张量是一类十分简单的多元函数，学生很容易初步掌握它。第八，首次完整地叙述了康托的集合定义，用这个康托的集合定义，很容易指出罗素悖论和其他集合论悖论的逻辑错误所在。